La varianza poblacional, también denominada en general varianza de una variable aleatoria, o varianza de una distribución de probabilidad en concreto, es una medida de dispersión estadística de una variable aleatoria o distribución de probabilidad. Se denota por \(\sigma^2\) (sigma cuadrado) y viene dada por el momento central de segundo orden correspondiente a la variable aleatoria \(X\) en cuestión, siendo \(\mu\) la media poblacional o esperanza matemática:
$$\sigma^2=\mu_2=E[(X-\mu)^2]$$
Desarrollando la definición anterior puede calcularse también en términos de momentos respecto al origen:
$$\sigma^2=\alpha_2-\alpha_1^2=E[X^2]-\mu^2$$
Su cálculo en la práctica difiere según nos encontremos ante una variable aleatoria discreta o una variable aleatoria continua. Examinemos cada caso.
Varianza de una distribución de probabilidad discreta
Denotando \(x_i\) y \(p(x_i)\) los diferentes valores que tomas la variable aleatoria y
$$\sigma^2=\sum(x_i-\mu)^2p(x_i)=\sum x_i^2p(x_i) - (\sum x_ip(x_i))^2$$
Ejemplo
Vamos a calcular la varianza de la puntuación obtenida al lanzar un dado equilibrado. Para ello partimos de la distribución de probabilidad de dicha puntuación en las primeras dos columnas:
| \(x_i\) | \(p(x_i)\) | \(x_ip(x_i)\) | \(x_i^2p(x_i)\) |
1 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
| 2 | 1/6 | 2/6 | 4/6 |
| 3 | 1/6 | 3/6 | 9/6 |
| 4 | 1/6 | 4/6 | 16/6 |
| 5 | 1/6 | 5/6 | 25/6 |
| 6 | 1/6 | 6/6 | 36/6 |
| suma=21/6=3.5 | suma=91/6=15.16 |
De este modo, la varianza de la puntuación obtenida al lanzar un dado equilibrado:
$$\sigma^2=\sum x_i^2p(x_i) - (\sum x_ip(x_i))^2=15.16-3.5^2=2.91$$