El azar, medido: de una muestra a una conclusión

El problema del cumpleaños (en inglés, birthday problem) pregunta cuántas personas tiene que haber en una sala para que sea más probable que improbable que dos de ellas cumplan años el mismo día. La respuesta es 23, y casi todo el mundo la encuentra increíble la primera vez. Con 23 personas, la probabilidad de al menos una coincidencia es del 50,7 por ciento; con 40 pasa del 89, y con 57, del 99. Para tener la certeza absoluta hacen falta 366, pero la certeza práctica llega mucho antes: en un aula de 70 alumnos, que no haya ningún cumpleaños repetido es un suceso de menos de uno entre mil.

No es una paradoja en sentido estricto, porque no hay ninguna contradicción lógica, sino un choque entre el resultado y la intuición, y la figura permite ver de dónde viene el choque. Arriba hay un calendario del año con un cuadro por día; cada vez que se reúne un grupo, los días de sus cumpleaños se pintan en negro, y los que se repiten, en naranja. Abajo están dos curvas. La naranja es la probabilidad de que coincidan dos personas cualesquiera del grupo; la discontinua, la de que alguien del grupo cumpla años el mismo día que tú.

La distancia entre las dos curvas es toda la explicación. Cuando alguien piensa en el problema, casi siempre se pregunta sin darse cuenta si otra persona de la sala cumple años el mismo día que él, y esa probabilidad es pequeña de verdad: con 22 personas más, cada una tiene 364 posibilidades sobre 365 de no coincidir, y la probabilidad de que alguna coincida es de un 5,9 por ciento. Para que esa segunda curva llegue a la mitad hacen falta 253 personas. Pero la pregunta no era esa. Con 23 personas no hay 22 comparaciones sino todas las parejas posibles, que son 23 × 22 / 2 = 253, y cada una de esas parejas es una oportunidad de coincidencia. El número de parejas crece con el cuadrado del grupo, y la intuición, que cuenta personas, crece en línea recta.

El cálculo exacto se hace por el lado contrario, contando la probabilidad de que no coincida nadie. La primera persona puede cumplir años cualquier día. La segunda tiene que evitar uno, con probabilidad 364/365; la tercera, dos, con 363/365, y así sucesivamente. La probabilidad de que las n tengan días distintos es el producto de todas esas fracciones, y la de al menos una coincidencia es uno menos ese producto:

La aproximación de la derecha deja ver la forma del resultado: la probabilidad depende del número de parejas, n(n − 1)/2, dividido por el número de días. Por eso la mitad se alcanza cuando el grupo anda por la raíz cuadrada de los días posibles, multiplicada por un factor de 1,18. Con 365 días, esa raíz es 19 y el umbral cae en 23. Con un calendario de un millón de días, bastarían unas 1.200 personas.

La historia del problema es confusa, como corresponde a un acertijo que circulaba de boca en boca. La primera versión publicada suele atribuirse al matemático austríaco Richard von Mises, que la incluyó en 1939 en un artículo sobre problemas de ocupación escrito en Estambul, donde se había exiliado. El matemático inglés Harold Davenport contaba que él la había propuesto antes, sin llegar a publicarla. Quien la popularizó fue William Feller, que la incluyó en 1950 en el primer volumen de su manual de probabilidad, del que pasó a casi todos los que vinieron después.

Hay dos supuestos en el cálculo que la realidad no cumple, y ninguno de los dos salva a la intuición. El primero es que los 365 días son igual de probables. No lo son: en casi todos los países hay meses con más nacimientos que otros, y en los hospitales con muchos partos programados hay menos nacimientos en fin de semana. Pero cualquier desigualdad en el reparto hace las coincidencias más probables, no menos, porque concentra a la gente en menos días, así que 23 es el peor caso. El segundo supuesto es que no hay gemelos en la sala, y un par de gemelos resuelve el problema con probabilidad uno. El 29 de febrero, que se suele ignorar, apenas cambia la cifra.

Persi Diaconis y Frederick Mosteller, entonces los dos en Harvard, usaron el problema en 1989 como punto de partida de un estudio sobre las coincidencias en general. Su conclusión es lo que llamaron la ley de los números verdaderamente grandes (law of truly large numbers): con una muestra suficientemente grande, cualquier cosa extraordinaria acabará ocurriendo. Una coincidencia que tiene una probabilidad de una entre un millón le sucede cada día a ocho mil personas en un mundo de ocho mil millones de habitantes, y es a ellas a las que se entrevista. La mayor parte de las casualidades asombrosas son problemas del cumpleaños mal planteados: se calcula la probabilidad de que le ocurra algo concreto a una persona concreta, cuando la pregunta pertinente es la de que le ocurra algo de ese estilo a alguien. Es el mismo mecanismo que hace peligrosas las comparaciones múltiples en la ciencia.

El caso donde el problema del cumpleaños tiene consecuencias más serias es la criptografía, que lo usa como arma y como medida. Una función hash criptográfica resume cualquier documento en una huella de tamaño fijo, digamos de b bits, y es segura si nadie puede encontrar dos documentos distintos con la misma huella. Buscar un documento que coincida con una huella dada exige probar del orden de $2^b$ documentos, pero encontrar dos cualesquiera que coincidan entre sí solo exige unos $2^{b/2}$, exactamente por la misma razón por la que 23 personas bastan con 365 días. Gideon Yuval lo explicó en 1979 con un ejemplo de estafa: se preparan muchas variantes inocentes de un contrato favorable y muchas de uno perjudicial, cambiando comas y espacios, hasta encontrar una de cada tipo con la misma huella; la víctima firma la primera y la firma vale para la segunda. A ese procedimiento se le llama ataque de cumpleaños (birthday attack), y es la razón por la que una huella de 128 bits solo ofrece 64 de seguridad frente a colisiones y las funciones actuales usan 256.

Al final, el problema es un recordatorio de algo que se repite en toda la estadística: el azar produce coincidencias mucho más a menudo de lo que parece, porque las oportunidades de coincidir crecen mucho más deprisa que las cosas que pueden coincidir. En una reunión de treinta personas, apostar a que hay dos que cumplen el mismo día es una apuesta con siete posibilidades de diez a favor, y quien la acepta en contra suele hacerlo convencido de que la ventaja es suya.

El problema del tanque alemán (en inglés, German tank problem) es el de estimar cuántos objetos numerados existen a partir de los números de serie de unos pocos de ellos. Si una fábrica numera sus tanques del uno en adelante y se capturan cinco con los números 19, 40, 42, 60 y 72, ¿cuántos ha fabricado? El nombre viene de la Segunda Guerra Mundial, cuando los estadísticos aliados lo resolvieron para calcular la producción alemana de carros de combate, y acertaron donde el espionaje convencional se equivocaba por un factor de casi cinco.

La figura plantea el problema con una fábrica cuya producción se oculta hasta que se pide verla. Arriba aparecen los números de serie capturados sobre una recta; debajo, lo que estiman tres métodos distintos. El botón de repetir hace dos mil capturas del mismo tamaño y dibuja cómo se reparten las estimaciones de cada método, que es la manera de saber cuál es mejor sin depender de la suerte de una sola captura. La fábrica de partida tiene la producción alemana real de agosto de 1942.

El método más ingenuo es tomar el mayor número visto. Tiene la virtud de no pasarse nunca, y el defecto de quedarse siempre corto: el tanque con el número más alto de la fábrica solo se habrá capturado por casualidad. El segundo método razona sobre la media. Si los números van del uno al N y la captura es al azar, su media debería estar hacia la mitad, en torno a N/2, así que el doble de la media estima N. El razonamiento es correcto y el estimador no tiene sesgo, pero desperdicia información, y a veces da un resultado absurdo: con los números 19, 40, 42, 60 y 72, la media es 46,6 y la estimación sale 92, que es posible; pero si se hubieran capturado el 5, el 8, el 11 y el 90, la estimación sería 56, menos que el 90 que se tiene delante.

El tercer método se fija solo en el mayor número, al que llamaremos m, y en cuántos tanques se han capturado, k. La idea es que los k números capturados parten el intervalo entre cero y N en k + 1 huecos que, por término medio, miden lo mismo. Los huecos por debajo de m se ven, y miden en promedio m/k; el hueco por encima de m, que no se ve, debería medir más o menos lo mismo. La estimación es entonces el mayor visto más un hueco medio:

Con los cinco tanques del ejemplo, m es 72 y la estimación, 72 + 72/5 − 1, que redondeada es 85. Se puede demostrar que este estimador es insesgado y que, entre todos los insesgados, es el de menor varianza, que es la definición técnica de ser el mejor posible. La figura lo enseña sin demostración: tras repetir la captura, la curva del mayor visto queda toda a la izquierda de la producción real, la del doble de la media se centra bien pero se reparte bastante más ancha, y la de la fórmula se centra y se estrecha a la vez.

La historia real es la que ha hecho famoso el problema. Durante la guerra, la División de Guerra Económica de la embajada de Estados Unidos en Londres empezó a reunir los números de serie de todo el material alemán capturado o destruido: chasis, motores, cajas de cambios y, sobre todo, ruedas. Los tanques Panther llevaban las ruedas de rodadura fundidas en moldes numerados, y el análisis de las ruedas de dos tanques capturados permitió estimar cuántos moldes usaba la fábrica y, a partir de ahí, su ritmo de producción. Richard Ruggles y Henry Brodie, dos de los economistas que hicieron el trabajo, lo publicaron en 1947, y compararon sus estimaciones con los registros del ministerio de Albert Speer, que se habían capturado después de la guerra. Para el Panther, las ruedas decían 270 tanques en febrero de 1944, y Speer había anotado 276.

La comparación que se suele citar es la de la producción mensual de tanques en general. Para junio de 1940, la estimación estadística fue de 169 al mes, los servicios de inteligencia calculaban unos 1.000 y los registros alemanes dijeron 122. Para junio de 1941, la estadística dijo 244, la inteligencia 1.550 y los registros 271. Para agosto de 1942, 327, 1.550 y 342. Los informes de inteligencia, basados en interrogatorios, fotografías aéreas y agentes, sumaban cifras de fuentes que se solapaban, y el error iba siempre en la misma dirección: hacia arriba. Los números de serie, en cambio, eran datos que los alemanes no tenían ninguna razón para falsear, porque nadie en la fábrica pensaba que fueran a servir para nada fuera de ella. La estimación estadística se equivocó en todos los casos, pero por unas decenas de tanques y no por más de mil.

El método que se usó no era exactamente la fórmula de la figura. Los números de serie reales no empezaban siempre en uno, se asignaban por bloques a fábricas distintas y tenían huecos, y buena parte del trabajo consistió en reconstruir el sistema de numeración antes de poder contar. La fórmula de mínima varianza la dejó bien establecida Leo Goodman en 1952, en un artículo que trataba el caso general con números que no empiezan en uno, y el problema pasó a los manuales como ejemplo de estimación. En los años noventa entró en las aulas como ejercicio práctico, con alumnos que sacan papelitos numerados de una bolsa e inventan sus propios estimadores antes de compararlos, y es habitual que alguno proponga el doble de la media y otro el mayor visto antes de llegar a la solución.

La misma lógica ha servido para contar muchas otras cosas. En la guerra se aplicó también a otros equipos capturados, y después de ella se ha usado, por ejemplo, para estimar las ventas de un aparato electrónico a partir de los números de serie que sus compradores publicaban en internet, cuando el fabricante no daba la cifra. Tiene el mismo aire de familia que otros métodos que cuentan lo que no se ve a partir de lo que se ve, como la captura y recaptura con que los ecólogos estiman cuántos peces hay en un lago marcando unos cuantos, soltándolos y contando cuántos marcados aparecen en una segunda pesca.

El problema es también un buen ejemplo de un caso en el que los métodos generales fallan. El bootstrap, que sirve para medir la incertidumbre de casi cualquier cifra, no sirve para el máximo, porque ninguna remuestra puede producir un número mayor que el más alto capturado, y justo lo que interesa aquí es lo que hay por encima. Hace falta pensar el problema desde su estructura, que es lo que hicieron los economistas de Londres: los números de serie no son una muestra de cualquier cosa, sino de una secuencia que empieza en un punto y termina en otro, y el final es exactamente lo que se quiere conocer. Estimar bien exige saber qué sesgo tiene cada manera de calcular antes de elegir una, y el mayor número visto, que parece la respuesta más prudente porque nunca se pasa, es la única de las tres que se equivoca siempre en la misma dirección.