Convergencia uniforme

En análisis matemático y respecto a una sucesión de funciones, la convergencia uniforme es una forma que tiene de aproximarse una sucesión de funciones a una función concreta, de forma conjunta y con condiciones más exigentes que la convergencia puntual.

La diferencia entre las dos está en el orden de las palabras. Una sucesión de funciones $f_n$ converge puntualmente a $f$ en un conjunto $A$ si, para cada punto $x$ de $A$, los números $f_n(x)$ se acercan a $f(x)$ cuando $n$ crece. Cada punto puede ir a su ritmo: para lograr un error menor que una cantidad $\varepsilon$ en un punto quizá baste con $n = 10$ y en otro haga falta $n = 10^6$. La convergencia es uniforme cuando existe un mismo $N$ que sirve para todos los puntos a la vez:

Dicho de otro modo, la mayor distancia entre $f_n$ y $f$ en todo el conjunto, $\sup_{x \in A} |f_n(x) - f(x)|$, tiende a cero. Geométricamente, a partir de cierto $n$ la gráfica de cada $f_n$ queda entera dentro de una franja de anchura $2\varepsilon$ alrededor de la gráfica de $f$, por estrecha que se elija la franja.

El ejemplo que se cita siempre es el de las potencias. En el intervalo $[0, 1]$, las funciones $f_n(x) = x^n$ convergen puntualmente a una función que vale $0$ en todos los puntos menores que $1$ y vale $1$ en $x = 1$. La convergencia no es uniforme: por grande que sea $n$, cerca de $1$ siempre hay puntos en los que $x^n$ vale todavía más de $1/2$, de modo que la distancia máxima al límite no baja nunca de esa cantidad. Las funciones se aplanan cada vez más en casi todo el intervalo, pero conservan siempre una subida brusca junto al extremo.

Lo que hace importante la distinción es que la convergencia puntual no conserva casi nada. En los ejemplos anteriores, todas las funciones de la sucesión son continuas y el límite no lo es. Con la convergencia uniforme eso no puede ocurrir: el límite uniforme de funciones continuas es continuo. También permite intercambiar el límite con la integral de Riemann en un intervalo cerrado,

algo que en general falla si la convergencia es solo puntual. Con la derivada hay que pedir más: no basta con que las funciones converjan uniformemente, tienen que hacerlo también sus derivadas.

La historia del concepto empieza con un error célebre. Augustin-Louis Cauchy afirmó en su Cours d’analyse de 1821 que la suma de una serie convergente de funciones continuas era siempre continua. En 1826 Niels Henrik Abel señaló, con cortesía, que el teorema tenía excepciones, y dio como contraejemplo una serie de Fourier, $\sin x - \tfrac{1}{2}\sin 2x + \tfrac{1}{3}\sin 3x - \cdots$, cuyos términos son continuos y cuya suma salta en los múltiplos impares de $\pi$. Durante dos décadas nadie supo decir con precisión qué faltaba en el razonamiento de Cauchy, hasta que en 1847 Philipp Ludwig von Seidel y George Stokes, por separado, identificaron la idea de una convergencia que no se hace arbitrariamente lenta en ningún punto. Karl Weierstrass la convirtió en una herramienta estándar en sus clases de Berlín, y el término alemán, gleichmäßige Konvergenz, procede de su entorno.

El propio Weierstrass dio en 1885 uno de los resultados más útiles del tema: toda función continua en un intervalo cerrado es límite uniforme de polinomios. Un polinomio es fácil de calcular, derivar e integrar, así que el teorema garantiza que cualquier función continua puede sustituirse por uno con el error que se quiera en todo el intervalo, no solo en unos cuantos puntos. Es la base de buena parte del cálculo numérico. Para las series existe además un criterio cómodo, también de Weierstrass: si cada término está acotado en valor absoluto por un número $M_n$ y la serie de los $M_n$ converge, la serie de funciones converge uniformemente.