El coeficiente phi de Pearson es una medida de correlación entre dos variables dicotómicas o binarias que coincide con el coeficiente de correlación de Pearson y por tanto se calcula a través de la fórmula de este último cuando las modalidades de las variables se han codificado con los valores de 0 y 1. Puede calcularse también directamente, como medida de asociación, a partir de la tabla de contingencia 2x2 asociada a las dos variables a través de dos fórmulas diferentes:
- por un lado, a través del coeficiente de correlación de Matthew, que utiliza como datos las frecuencias simples y marginales de la tabla de la contingencia; codificando las frecuencias de la tabla de frecuencia de esta forma:
| Tabla de contingencia | Totales | ||
| a | b | a+b | |
| c | d | c+d | |
| Totales | a+c | b+d | a+b+c+d |
$$\phi=\cfrac{ac-bd}{\sqrt{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}}$$
- por otro lado, tomando como dato el estadístico chi-cuadrado asociado a la tabla de contingencia:
$$\phi=\sqrt{\cfrac{\chi^2}{n}}$$
Tanto calculado a través del coeficiente de correlación de Pearson como a través del coeficiente de correlación de Matthew, el coeficiente phi toma valores en el intervalo [-1,1], interpretándose de acuerdo a un coeficiente de correlación común. Más concretamente, cuando se calcula como coeficiente de correlación de Pearson, la interpretación dependerá de la forma en que se han asignado los valores 0 y 1 a las dos modalidades de cada variable. Cuando se calcula como coeficiente de correlación de Matthew un valor cercano a 1 indica asociación intensa entre los pares de modalidades a y d; un valor cercano a -1, una asociación intensa entre los pares de modalidades b y c; y un valor cercano a 0 indica disociación o falta de asociación entre ambas variables.
Calculado como medida de asociación estadística derivada del estadístico chi-cuadrado, el coeficiente toma valores entre 0 y 1, indicando un valor cercano a 0 una asociación nula o débil entre ambas variables; y un valor cercano a 1 una asociación intensa, sin que se pueda afirmar nada en relación a la dirección de la asociación sin análisis complementarios.
El coeficiente phi suele utilizarse también como medida de asociación estadística para tablas no binarias, esto es, con dimensiones superiores a 2x2. Sin embargo, en estos casos phi nunca alcanza el valor de 1, como ocurre en las tablas binarias. Como solución a este inconveniente, puede calcularse el valor máximo de phi cuadrado para estas tablas de dimensión superior que es:
$$\phi^2_{max}=min(r-1,c-1)$$
donde \(r\) es el número de fila y \(c\) es el número de columnas de la tabla. A continuación, para normalizar, es decir, para limitar el coeficiente phi al intervalo [0,1] en estas tablas, es suficiente dividir el valor de phi cuadrado entre dicho valor máximo. Cuando se aplica esta corrección, el coeficiente resultante es la V de Cramér. Cuando la tabla de contingencia de dimensión superior es cuadrada o k x k, el valor máximo del coeficiente phi cuadrado es \(min(r-1,c-1)=k-1=\sqrt{(r-1)(c-1)}\); dividiendo phi entre dicho valor máximo, resulta el coeficiente de asociación T de Tschuprow, que solo alcanzará el valor 1 cuando la tabla es cuadrada, como hemos dicho.