El coeficiente phi de Pearson es una medida de correlación entre dos variables dicotómicas o binarias que coincide con el coeficiente de correlación de Pearson y por tanto puede calcularse a través de la fórmula de este último cuando las modalidades de las variables se han codificado con los valores de 0 y 1. Puede calcularse también directamente, como medida de asociación, a partir de la tabla de contingencia 2x2 asociada a las dos variables a través de dos fórmulas diferentes:
- por un lado, utilizando como datos las frecuencias simples y marginales de la tabla de contingencia; codificando las frecuencias de la tabla de frecuencia de esta forma:
| B₁ | B₂ | Totales | |
|---|---|---|---|
| A₁ | a | b | a + b |
| A₂ | c | d | c + d |
| Totales | a + c | b + d | a + b + c + d |
- por otro lado, tomando como dato el estadístico chi-cuadrado asociado a la tabla de contingencia:
Mediante la primera fórmula, el coeficiente phi toma valores en el intervalo [-1,1], interpretándose de acuerdo a un coeficiente de correlación común. De hecho, mediante esta fórmula phi coincide con el coeficiente de correlación lineal de Pearson calculado a través de los valores 0 y 1 individuales asignados a las categorías dicotómicas. En ese caso, la interpretación dependerá de la forma en que se han asignado los valores 0 y 1 a las dos modalidades de cada variable, de modo que un valor cercano a 1 indica asociación intensa entre los pares de modalidades a y d; un valor cercano a -1, una asociación intensa entre los pares de modalidades b y c; y un valor cercano a 0 indica disociación o falta de asociación entre ambas variables. Cuando esta fórmula se utiliza para una matriz de confusión, en el ámbito de machine learning, el coeficiente phi toma el nombre de coeficiente de correlación de Matthews.
Calculado como medida de asociación estadística derivada del estadístico chi-cuadrado, el coeficiente toma valores entre 0 y 1, indicando un valor cercano a 0 una asociación nula o débil entre ambas variables; y un valor cercano a 1 una asociación intensa, sin que se pueda afirmar nada en relación a la dirección de la asociación sin análisis complementarios. Mediante esta fórmula, el coeficiente phi suele utilizarse también como medida de asociación estadística para tablas no binarias, esto es, con dimensiones superiores a 2x2. Sin embargo, en estos casos phi nunca alcanza el valor de 1, como ocurre en las tablas binarias, de modo que generalmente se utiliza el coeficiente phi solo para tablas binarias o dicotómicas. Como salida a esta limitación, puede calcularse el valor máximo de phi cuadrado para las tablas de dimensión superior a las tablas binarias que es:
donde es el número de fila y es el número de columnas de la tabla. A continuación, para normalizar, es decir, para limitar el coeficiente phi al intervalo [0,1] en estas tablas, es suficiente dividir el valor de phi cuadrado entre dicho valor máximo. Cuando se aplica esta corrección, el coeficiente resultante es la V de Cramér. Cuando la tabla de contingencia de dimensión superior es cuadrada o k x k, el valor máximo del coeficiente phi cuadrado es ; dividiendo phi entre dicho valor máximo, resulta el coeficiente de asociación T de Tschuprow, que solo alcanzará el valor 1 cuando la tabla es cuadrada, como hemos dicho.
El hecho de ambas fórmulas proporcionen valores de phi en diferentes intervalos se debe al hecho de que al calcular el estadístico chi cuadrado se pierde el signo que permite conocer la dirección en la asociación en la otra fórmula, ya que en resumidas cuentas calcula chi cuadrado de esta forma: .
Coeficiente de contingencia de Pearson – Coeficiente Q de Yule – Coeficiente de correlación biserial puntual – Tabla de contingencia