Imagen: Los números 1 2, y 3 y las letras A y B se pueden cobinar conjuntamente de 3x2=6 formas.
En combinatoria, la regla del producto es un principio fundamental de conteo que establece que si una cosa se puede hacer o puede aparecer de \(m\) formas diferentes y otra cosa se puede hacer de \(n\) forma diferentes, las dos cosas jnutas se pueden hacer \(m \times n\) formas. Por ejemplo, si tengo 4 pantalones diferentes y 3 camisetas, me puedo vestir con pantalón y camiseta de 4x3=12 formas diferentes.
La regla del producto se demuestra visualmente a través de un diagrama de árbol, en el que las ramas del árbol corresponden a las diferentes formas de hacer cada cosa y se extiende de forma evidente a más de dos conjuntos de posibilidades, múltiplicando las opciones para cada una de ellas.
Las fórmulas básicas de combinatoria no son mś que una aplicación de la regla del producto. Por ejemplo, la fórmula \(n!\) para el número de permutaciones de \(n\) elementos diferentes se deduce fácilmente considernado que para la primera posición de una permutación se disponen de \(n\) posibilidades, para la segunda de \((n-1)\) posibilidades, y así sucesivamente hasta la última posición donde queda una única posibilidad, esto es, la posibilidad que queda de entre \(n\) posibilidades que no se ha escogido en las anteriores \((n-1)\) posiciones. Así, el número de permutaciones total sería:
$$P_n=n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1=n!$$