Correlación múltiple

La correlación múltiple mide el grado de relación lineal entre una variable y un conjunto de otras variables consideradas a la vez. Responde a la pregunta de en qué medida se puede predecir una variable a partir de la mejor combinación lineal de las demás. Se distingue de la correlación simple, que mide la relación entre dos variables, y de la correlación parcial, que mide la relación entre dos variables eliminando el efecto de terceras.

Se cuantifica con el coeficiente de correlación múltiple, $R$, que es el coeficiente de correlación simple entre los valores observados de la variable dependiente $y$ y los valores que predice para ella un modelo de regresión lineal múltiple con las variables explicativas $x_1, x_2, \dots, x_k$. A diferencia del coeficiente de Pearson, que va de $-1$ a $1$, $R$ toma valores entre 0 y 1, porque la mejor combinación lineal siempre se elige de modo que la relación sea positiva. Vale 0 si las variables explicativas no permiten predecir linealmente $y$, y 1 si la predicen sin error.

Su cuadrado, $R^2$, es el coeficiente de determinación del modelo de regresión múltiple, y tiene una interpretación más directa: la proporción de la varianza de $y$ que queda explicada por el conjunto de las variables explicativas. Si al predecir el rendimiento académico de unos estudiantes a partir de sus horas de estudio, su asistencia a clase y la nota de acceso se obtiene $R = 0{,}7$, entonces $R^2 = 0{,}49$, y las tres variables juntas explican el 49 % de la variación de las notas. El 51 % restante se debe a otros factores o al azar.

El coeficiente de correlación múltiple nunca disminuye al añadir variables al modelo. Incluso una variable irrelevante, como el número de calzado, aumentará algo $R^2$ por puro azar. Por eso, para comparar modelos con distinto número de variables se usa el coeficiente de determinación ajustado, que penaliza cada variable añadida y solo aumenta si la nueva variable aporta más de lo que cabría esperar por casualidad. Su significación estadística se contrasta con la prueba F del modelo de regresión.

Hay dos advertencias habituales. La primera es que un $R$ alto indica que el conjunto de variables predice bien, pero no dice cuál de ellas es importante: si las variables explicativas están muy correlacionadas entre sí (multicolinealidad), el modelo puede predecir bien y, sin embargo, los coeficientes individuales ser inestables y difíciles de interpretar. La segunda es que, como toda correlación, la múltiple mide asociación y no causalidad, y solo capta relaciones lineales.

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