Distribución normal

La distribución normal, también llamada distribución gaussiana o campana de Gauss, es una distribución de probabilidad continua, simétrica y en forma de campana, determinada por dos parámetros: la media $\mu$, que fija su centro, y la desviación típica $\sigma$, que fija su anchura. Su denominación «normal» no significa «normal» en sentido de habitual, típico o deseable: significa que la curva aparece, por un teorema matemático, cuando se suman muchos efectos pequeños e independientes. La campana es una propiedad de las sumas, no una ley de la naturaleza, y aplicarla donde no procede —en rentas, en precios de bolsa, en casi todo lo social con colas largas— es uno de los errores más costosos de la estadística aplicada.

La expresión de su densidad, que depende únicamente de $\mu$ y $\sigma$, es

y se abrevia $X \sim N(\mu, \sigma)$. Que la variable admita cualquier valor real —incluidos los negativos, imposibles para una estatura o un peso— no es un defecto práctico: a pocas desviaciones típicas del centro la densidad es despreciable, y lo que matemáticamente es posible puede ser físicamente irrelevante. Por simetría, media, mediana y moda coinciden en $\mu$, y la regla empírica resume su forma: alrededor del 68 % de la masa se concentra a una desviación típica del centro, el 95 % a dos y el 99,7 % a tres. Esa forma única permite estandarizar: cualquier normal se convierte en la distribución normal estándar $N(0,1)$ mediante:

y con ella las puntuaciones estándar: decir que un niño mide $z = 1,3$ comunica su posición relativa con un solo número, comparable entre países y edades. Durante medio siglo, antes de los ordenadores, toda la inferencia estadística se hizo con tablas de esta curva, y de ahí que su apariencia fuera tan familiar como la del logaritmo.

Su genealogía es larga y disputada. Abraham de Moivre la obtuvo en 1733 como aproximación de la distribución binomial cuando el número de ensayos crece, resultado que incluyó en la segunda edición de su Doctrine of Chances (1738). Pierre-Simon Laplace la generalizó: su teorema central del límite, culminado en 1810, demostró que la suma de muchas causas independientes tiende a esa forma con independencia de cómo se distribuya cada causa por separado. Carl Friedrich Gauss la derivó en 1809, en Theoria Motus, como la ley de error que hace óptima a la media y a los mínimos cuadrados, y por eso en buena parte del mundo la llaman gaussiana, aunque Adrain la hubiera publicado con argumentos parecidos un año antes, en 1808. El nombre «normal» se popularizó a finales del siglo XIX, en buena parte por Karl Pearson. En los países de tradición alemana la curva lleva el nombre de Gauss con orgullo institucional: el billete de diez marcos de 1989 llevaba su retrato dibujado sobre la campana, quizá la única distribución de probabilidad que ha ilustrado moneda corriente.

El salto decisivo fue llevarla del error de medición al cuerpo humano, y ahí entra Quetelet: en Sur l’homme (1835) aplicó la curva a caracteres humanos bajo su doctrina del «hombre medio», y Francis Galton la convirtió en instrumento de laboratorio. En los años setenta del siglo XIX construyó el «quincunce» o tablero de Galton —así llamó él a la disposición en cruz de los clavos—, un tablero por donde caían bolas que se desviaban a izquierda o derecha en cada fila: cada bola es una suma de desvíos aleatorios, y el montón final dibuja una campana sin que nadie la haya impuesto.

El capítulo oscuro del concepto merece memoria propia. Si la campana describe la especie, razonó Galton, las colas definen el desvío, y de ahí acuñó la eugenesia —la palabra es suya, de 1883—. El uso normativo de la curva tuvo consecuencias documentadas: la familia Kallikak de Henry Goddard (1912), propaganda de la esterilización forzosa; la ley de inmigración estadounidense de 1924, defendida con pruebas de inteligencia; decenas de miles de esterilizaciones forzosas autorizadas por leyes estatales y avaladas por el Tribunal Supremo en Buck contra Bell (1927), donde Oliver Wendell Holmes escribió que «tres generaciones de imbéciles bastan». La «normal» de la curva se leyó como norma moral, y esa lectura —no la matemática— produjo daños que la estadística contemporánea sigue enmendando.

Las objeciones técnicas son igualmente serias. Muchos fenómenos reales tienen colas mucho más gruesas que la campana: las rentas y patrimonios siguen distribuciones tipo Pareto, donde la media puede no representar a nadie; los rendimientos bursátiles, como mostró Benoit Mandelbrot en 1963 estudiando precios de algodón, presentan extremos que la normal descarta como prácticamente imposibles y que los mercados producen con regularidad; y hay distribuciones, como la de Cauchy, donde ni siquiera existe la varianza, con lo que el teorema central del límite —que exige varianza finita— no aplica. Incluso cuando la normal describe bien la mayoría de los datos, suele describir mal precisamente lo que más importa: los extremos.

Sigue siendo útil, y decisivamente, en su territorio: errores de medición de instrumento, dimensiones de piezas manufacturadas, promedios de muestras. El teorema central del límite garantiza que la media de muchas observaciones independientes es aproximadamente normal con varianza $\sigma^2/n$ con independencia de la forma original de los datos —condición que Laplace ya vio en 1810 y que rigorizó el siglo siguiente—, y esa es la base de los intervalos de confianza, de los test de hipótesis y de las cartas de control de Shewhart, que desde 1924 en los laboratorios de Bell regulan la fabricación industrial señalando cuándo un proceso se sale de su variación natural. De Moivre ya buscaba algo así en 1733, cuando necesitaba aproximar la binomial para responder preguntas de juegos de azar con muchos ensayos: la campana nació, literalmente, como un atajo de cálculo. La campana no es la forma del mundo: es la forma de las sumas del mundo, y saber cuándo una cantidad es una suma es saber cuándo la campana es la herramienta correcta.

Distribución de probabilidad – Campana de Gauss (distribución campaniforme) – Esperanza matemática – Desviación típica (desviación estándar) – Puntuación estándar (puntuación tipificada, valor z) – Medidas de dispersión estadística