Distribución de probabilidad

Una distribución de probabilidad es la regla que asigna una probabilidad a cada uno de los valores, o a cada intervalo de valores, que puede tomar una variable aleatoria. Si la variable cuenta el número de caras al lanzar tres monedas, su distribución dice que 0 caras tiene probabilidad 1/8, 1 cara 3/8, 2 caras 3/8 y 3 caras 1/8. Conocer la distribución es conocer todo lo que se puede saber de antemano sobre la variable: qué valores son posibles, cuáles son frecuentes y cuáles raros.

Según los valores que tome la variable se distinguen dos tipos. En las distribuciones discretas la variable toma valores aislados que se pueden contar (el número de hijos, de clientes en una cola o de piezas defectuosas en un lote), y la distribución se describe con una función de cuantía o función de probabilidad, $P(X=x)$, que da la probabilidad de cada valor. Las probabilidades de todos los valores suman 1. En las distribuciones continuas la variable puede tomar cualquier valor de un intervalo (una estatura, un tiempo de espera, una temperatura). La probabilidad de un valor exacto es nula, y lo que se describe es la función de densidad: la probabilidad de que la variable caiga en un intervalo es el área bajo esa curva entre los dos extremos, y el área total es 1.

Para los dos tipos existe además la función de distribución, $F(x)=P(X\le x)$, que acumula la probabilidad desde el valor más bajo hasta $x$. Es la herramienta que se usa en la práctica para calcular probabilidades de intervalos y para obtener percentiles. Las tablas de la distribución normal que se usan en clase son, precisamente, tablas de su función de distribución.

Toda distribución se resume con unos pocos números. La esperanza matemática o media es su centro de gravedad: el valor medio que se obtendría repitiendo el experimento muchas veces, como garantiza la ley de los grandes números. La varianza mide cuánto se dispersan los valores alrededor de ese centro. A ellas se añaden medidas de asimetría y de apuntamiento.

Unas pocas distribuciones aparecen una y otra vez porque describen mecanismos que se repiten. La distribución binomial cuenta éxitos en un número fijo de ensayos independientes, como caras en diez lanzamientos. La distribución de Poisson cuenta sucesos raros en un intervalo de tiempo o espacio, como llamadas a una centralita en un minuto. La distribución uniforme reparte la probabilidad por igual. La distribución normal, la campana de Gauss, aparece cuando una magnitud es la suma de muchos efectos pequeños e independientes, y por eso describe bien errores de medida, estaturas o promedios de muestras grandes.

En estadística, la distribución de probabilidad es el modelo teórico, y la distribución de frecuencias, lo que se observa en unos datos concretos. La inferencia consiste en buena parte en decidir qué distribución, y con qué parámetros, pudo haber generado los datos que se tienen delante.

Variables aleatorias discretas y distribuciones de probabilidad discretas – Distribución uniforme – Distribución uniforme discreta – Distribución marginal – Corrección por continuidad – Probabilidad marginal