La esperanza matemática o valor esperado (en inglés, expected value) es el valor medio de una variable aleatoria, que se calcula ponderando los posibles valores de la variable según su probabilidad. Como su nombre indica, la esperanza matemática representa lo que se espera de la variable, más concretamente, lo que se espera a priori o anticipadamente de la media de una serie de resultados de un valor aleatorio. Así, hay que distinguir entre esperanza matemática y media aritmética simple, aunque ambos sean conceptos equivalentes: la esperanza matemática se calcula de antemano, y la media aritmética simple siempre después de que ocurran o se materialicen los valores de la variable aleatoria. Por ejemplo, si se lanza una moneda al aire y se pierde 2 euros por resultado y se gana 2 euros, la esperanza matemática es 0, pero la media aritmética simple de las ganancias por jugada seguramente tomará otro valor(por ejemplo 2/2/-2/-2 en la sucesión, la media es 0.4), aunque a largo plazo se acercará al valor de la esperanza, según la ley de grandes números.
Cálculo
Para una variable aleatoria \(X\), siendo \(R\) el recorrido o conjunto de valores que puede tomar, la esperanza matemática se expresa y calcula de la siguiente manera:
para una variable aleatoria discreta:
$$\mu = E [X] =\sum_ {x\in R} xp (x) $$
para una variable aleatoria continua con una función de densidad \(f (x)\):
$$\mu = E [X] =\int_Rxf (x) dx$$
**Ejemplo de esperanza matemática de una variable aleatoria discreta
**Un dado de seis lados se lanza al aire. Se desea calcular la esperanza matemática de la puntuación en cada lanzamiento.
La probabilidad por puntuación es de 1/6. Así que:
$$\mu = E [X] = 1\times\cfrac {1} {6} + 2\times\cfrac {1} {6} + 3\times\cfrac {1} {6} + 4\times\cfrac {1} {6} + 5\times\cfrac {1} {6} + 6\times\cfrac {1} {6} = 3.5 $$** Ejemplo de esperanza matemática variable aleatoria continua
**Se considera que la temperatura de un frigorífico en los grados centígrados se distribnuye en un momento dado según la función de densidad \(f (x) = 2x\ ;\ 0 < x < 1\). Se desea calcular la esperanza matemática de la temperatura: $$\mu = E [X] =\int_0 ^ 1 x\cdot 2x dx =\int_0 ^ 1 2x ^ 2 dx =\Bigg [\cfrac {2x ^ 3} {3}\Bigg] _0 ^ 1 =\cfrac {2} {3} = 0.66 $$