Distribución exponencial

La distribución exponencial es la distribución de probabilidad del tiempo o, más generalmente, distancia entre dos sucesos consecutivos en un proceso de Poisson. Se utiliza generalmente como distribución del tiempo entre llegadas u ocurrencias cuando estas ocurren de forma aleatoria a lo largo del tiempo, a una tasa dada por unidad de tiempo. Más concretamente, siendo $\lambda$ (lambda) la tasa media de ocurrencia de los sucesos aleatorios, la función de densidad de la distribución exponencial es la siguiente:

Como puede observarse, la variable con distribución exponencial toma únicamente valores positivos, siendo esto coherente con su consideración como tiempo entre sucesos consecutivos.

El cálculo de probabilidades es más cómodo a través de la función de distribución:

Su esperanza matemática y varianza son las siguientes:

La propiedad más destacada de la distribución exponencial es la falta de memoria: si el tiempo de vida de un componente se distribuye exponencialmente, el hecho de haber funcionado durante $t$ horas no altera la distribución del tiempo que le queda. Formalmente, $P[X>s+t\,/\,X>s]=P[X>t]$ para cualesquiera $s,t>0$. Esto significa que un componente que sigue esta distribución no envejece: su probabilidad de fallo es la misma al principio de su vida que tras mil horas de uso. La falta de memoria caracteriza a la distribución exponencial entre las distribuciones continuas, del mismo modo que lo hace la distribución geométrica entre las discretas; de hecho, la exponencial es la versión continua de la geométrica, que modela el número de ensayos hasta el primer éxito en un proceso de Bernoulli.

Ejemplo

Las llegadas de clientes a un servicio son aleatorias e independientes entre sí a una tasa de 2 clientes por minuto. Vamos a calcular la probabilidad de que entre dos clientes consecutivos transcurran menos de 4 minutos:

Debe recordarse a la hora de calcular probabilidades que el intervalo de tiempo al que se refiere el parámetro lambda debe coincidir con la unidad de tiempo considerada en el cálculo de probabilidades; así, en el ejemplo anterior, si lambda es por minuto, la unidad de tiempo utilizada en la fórmula debe ser el minuto.

Finalmente vamos a calcular la esperanza o media de la distribución:

El resultado es intuitivo: si llegan 2 clientes por minuto en promedio, el promedio de tiempo entre clientes consecutivos será de 0.5 min.

Entre sus aplicaciones más relevantes destaca la teoría de la fiabilidad: la distribución exponencial modela el tiempo de vida de componentes electrónicos durante su periodo de funcionamiento estable, cuando los fallos se deben a causas externas aleatorias y no al desgaste. También es la piedra angular de la teoría de colas, donde las distribuciones de llegadas y los tiempos de servicio se suponen a menudo exponenciales por su simplicidad analítica y su relación con la distribución de Poisson. Otros usos clásicos son la desintegración radiactiva —donde la vida media de un isótopo es el inverso de su constante de desintegración— y el tiempo que transcurre entre llamadas telefónicas o terremotos en un área determinada. En todos estos casos, la condición subyacente es la misma: los sucesos llegan de forma aleatoria e independiente a tasa constante.

Distribución de Poisson – Función de distribución – Distribución geométrica – Teoría de colas – Esperanza matemática