Tamaño muestral (tamaño de la muestra)

El tamaño muestral o tamaño de la muestra, que se designa con la letra $n$, es el número de elementos de una población que se observan para formar la muestra estadística. De él depende sobre todo la precisión de las estimaciones: con más observaciones, los estadísticos calculados se acercan más a los parámetros poblacionales que se quieren conocer. Decidir cuántos casos estudiar es uno de los primeros pasos de cualquier diseño de investigación cuantitativa, porque cada caso adicional cuesta tiempo y dinero.

La relación entre tamaño y precisión no es lineal. El error típico de la media muestral es $\sigma/\sqrt{n}$, de modo que para reducir el error a la mitad hay que cuadruplicar la muestra. Una encuesta de 1.000 personas tiene un margen de error de unos ±3 puntos porcentuales para una proporción, con una confianza del 95 %; para bajar a ±1,5 harían falta unas 4.000. Por eso las encuestas electorales rondan el millar de entrevistas: más allá, cada punto de precisión cuesta muchísimo.

Contra la intuición, el tamaño de la población apenas influye mientras la muestra sea una fracción pequeña de ella. Mil entrevistas aleatorias dan casi la misma precisión en un país de 5 millones que en uno de 300 millones, igual que basta una cucharada para probar la sal de una olla, sea grande o pequeña, siempre que esté bien removida. La población solo importa cuando la muestra supera alrededor del 5 % del total, y entonces se aplica una corrección que reduce el tamaño necesario.

Para calcular el tamaño necesario en la estimación de una proporción se usa la fórmula

donde $z$ depende del nivel de confianza (1,96 para el 95 %), $p$ es la proporción esperada y $e$ el margen de error admitido. Si no se sabe nada de $p$, se toma $p=0{,}5$, que es el caso más desfavorable. Con $e=0{,}03$ sale $n\approx1.067$. En los contrastes de hipótesis el cálculo se plantea al revés: cuántos casos hacen falta para detectar un efecto de cierto tamaño con una potencia estadística dada, habitualmente del 80 %.

Un tamaño grande no corrige una muestra mal elegida. Si el procedimiento de selección deja fuera a una parte de la población o favorece a otra, el error de muestreo disminuye al crecer $n$, pero el sesgo permanece intacto. El caso clásico es la encuesta del Literary Digest de 1936, que con más de dos millones de respuestas predijo la derrota de Roosevelt porque sus listas salían de guías telefónicas y registros de automóviles, en plena Depresión. Gallup acertó con unas pocas decenas de miles de entrevistas mejor repartidas.

Media poblacional – Estadísticos muestrales – Diseño muestral – Media muestral – Error de muestreo (error muestral) – Cuasivarianza (varianza corregida)