Media muestral

La media muestral es la media aritmética de los valores observados en una muestra. Se representa con $\bar{x}$ y se calcula sumando los $n$ datos y dividiendo por su número:

Su interés principal no está en describir la muestra, sino en lo que dice de la población de la que procede. Se usa como estimador de la media poblacional, $\mu$, que casi nunca se conoce porque exigiría medir a todos los elementos de la población. Si se quiere saber la estatura media de los adultos de un país, se mide a una muestra aleatoria y se toma su media como estimación: $\hat{\mu} = \bar{x}$.

La media muestral es un estadístico, y por tanto una variable aleatoria: cada muestra posible da un valor algo distinto. Sus propiedades como estimador explican por qué es la elección habitual. Es insesgada: si se tomaran muchas muestras, el promedio de sus medias coincidiría con $\mu$, de modo que no tiende a sobrestimar ni a subestimar. Es consistente: a medida que crece la muestra, se acerca cada vez más a $\mu$, como asegura la ley de los grandes números. Y, entre los estimadores lineales insesgados, es la de menor varianza. Con datos que siguen una distribución normal es además el estimador más eficiente posible.

Su variabilidad se mide con el error típico, que en un muestreo aleatorio simple vale

donde $\sigma$ es la desviación típica de la población. La precisión mejora con la raíz cuadrada del tamaño muestral: para reducir el error a la mitad hay que cuadruplicar la muestra.

El resultado más importante sobre la media muestral es el teorema central del límite: sea cual sea la distribución de la población, siempre que tenga varianza finita, la distribución de $\bar{x}$ se aproxima a una normal de media $\mu$ y desviación $\sigma/\sqrt{n}$ cuando la muestra es suficientemente grande, en la práctica a partir de unas pocas decenas de observaciones si la población no es muy asimétrica. Esa propiedad es la que permite construir intervalos de confianza para la media y contrastar hipótesis sobre ella con la distribución normal o con la t de Student, que se usa cuando $\sigma$ es desconocida y se sustituye por la desviación de la muestra.

Como cualquier media aritmética, la media muestral es sensible a los valores extremos. En muestras pequeñas o con datos muy asimétricos, como las rentas, un solo valor atípico puede desplazarla mucho, y conviene acompañarla de la mediana o usar estadísticos robustos.

Estadísticos muestrales – Estimador (estadística) – Error típico (error estándar) – Método de los momentos – Tamaño muestral (tamaño de la muestra) – Corrección de Bessel