Estadígrafos

Un estadígrafo es cualquier cantidad que se calcula a partir de los datos de una muestra: la media de las alturas de los cien alumnos medidos, la proporción de votantes de un partido entre los mil encuestados, la varianza de los pesos de las veinte piezas inspeccionadas. En España se le llama casi siempre estadístico o estadístico muestral; estadígrafo es la forma preferida en buena parte de Hispanoamérica, sobre todo en Chile, Perú y Bolivia, y en muchos manuales universitarios de la región. Las dos palabras nombran lo mismo. El diccionario de la Real Academia registra estadígrafo en primer lugar como la persona que se dedica a la estadística, un uso que también existe, pero en los textos de estadística el significado habitual es el de medida calculada sobre una muestra.

La definición formal es más precisa de lo que parece. Un estadígrafo es una función de las observaciones de la muestra y solo de ellas: una regla que, dados los datos, devuelve un número, y que no depende de ninguna cantidad desconocida. La media muestral cumple la condición, porque para calcularla basta con sumar los datos y dividir entre su número. La diferencia entre la media muestral y la media de la población no la cumple, porque para calcularla haría falta conocer la media de la población, que es justamente lo que se ignora. Esa exigencia es lo que hace útil al estadígrafo: se puede calcular siempre.

Su pareja es el parámetro. Un parámetro es una característica de la población entera, la media de las alturas de todos los alumnos del país, la proporción real de votantes de ese partido, y normalmente es desconocido e incognoscible, porque no se puede medir a todo el mundo. Toda la estadística inferencial consiste en usar estadígrafos, que se calculan, para decir algo sobre parámetros, que no se conocen. La notación recoge la diferencia: los parámetros se escriben con letras griegas, μ para la media, σ para la desviación típica, π o p para la proporción, y los estadígrafos con letras latinas, x̄ para la media muestral, s para la desviación típica muestral, p̂ para la proporción muestral. La distinción la fijó Ronald Fisher en un artículo de 1922 en el que introdujo la palabra statistic en este sentido y definió el objetivo de la estadística como la reducción de los datos a unas pocas cantidades que conserven la información relevante sobre los parámetros.

Los estadígrafos más usados se agrupan por lo que resumen. Los de posición o tendencia central: la media, la mediana y la moda. Los de dispersión: el rango, la varianza, la desviación típica y el coeficiente de variación. Los de forma: la asimetría y la curtosis. Los de relación entre dos variables: la covarianza y el coeficiente de correlación. Y los estadígrafos de prueba o de contraste, que se construyen para decidir sobre una hipótesis: el estadístico t de Student, el chi cuadrado, la F de Fisher o la z, que comparan lo observado con lo esperado bajo la hipótesis nula y se expresan en una escala cuya distribución se conoce. Un estadígrafo descriptivo resume la muestra; un estadígrafo de prueba la juzga.

Lo que convierte un estadígrafo en instrumento de inferencia es que tiene su propia distribución. Si se tomaran muchas muestras del mismo tamaño de la misma población, la media muestral saldría distinta en cada una, y el conjunto de esos valores forma la distribución muestral del estadígrafo. Para la media, esa distribución tiene como centro la media de la población y como dispersión la desviación típica dividida por la raíz del tamaño de la muestra, el llamado error típico, y por el teorema central del límite es aproximadamente normal cuando la muestra es grande. Ese resultado es el que permite decir que, con una muestra de mil personas, la proporción observada estará a menos de tres puntos de la real en el 95 % de los casos, que es la frase que acompaña a todas las encuestas.

Cuando un estadígrafo se usa para aproximar un parámetro se le llama estimador, y se le piden propiedades. Que sea insesgado, es decir, que el centro de su distribución muestral coincida con el parámetro: la media muestral lo es, y la varianza muestral solo lo es si se divide entre n menos uno en vez de entre n, que es la razón de esa corrección que desconcierta a los estudiantes. Que sea consistente, que se acerque al parámetro a medida que crece la muestra. Que sea eficiente, con la menor varianza posible entre los insesgados. Y que sea suficiente, en el sentido de Fisher, que no desperdicie información de la muestra. La mediana muestral, por ejemplo, es un estimador insesgado y consistente de la media de una distribución simétrica, pero es menos eficiente que la media muestral cuando la distribución es normal y más robusta cuando hay valores extremos; elegir el estadígrafo es elegir qué se quiere proteger.

Un ejemplo recorre todos los conceptos. Un laboratorio quiere saber el contenido medio de cafeína de las latas de un refresco. El parámetro es μ, la media de todas las latas que produce la fábrica, que nadie conocerá nunca. Se analizan 25 latas y se obtiene una media de 34,2 miligramos con una desviación típica de 1,5: dos estadígrafos. Su error típico es 1,5 dividido entre la raíz de 25, es decir, 0,3. Con una distribución t de 24 grados de libertad, el intervalo de confianza del 95 % para μ va de 33,6 a 34,8 miligramos. Si la etiqueta promete 35, el estadígrafo de prueba t vale la diferencia entre 34,2 y 35 dividida entre 0,3, unos 2,7 en valor absoluto, lo bastante grande para rechazar que la media real sea 35. Todo lo que el laboratorio ha hecho ha sido calcular estadígrafos y comparar su valor con lo que la distribución muestral dice que sería esperable; eso es la inferencia, y el estadígrafo es su unidad de trabajo.

Estadísticos muestrales – Parámetro poblacional – Estimador (estadística) – Distribución muestral de un estimador – Media muestral – Estadístico de prueba (estadístico de contraste) – Estadística descriptiva y estadística inferencial