Distribución binomial

La distribución binomial es la distribución de probabilidad del número de éxitos que se obtienen al repetir $n$ veces, de forma independiente, un experimento con solo dos resultados posibles, éxito o fracaso, en el que la probabilidad de éxito $p$ es la misma en cada repetición. Es decir, cuenta los éxitos en un proceso de Bernoulli. El número de caras en diez lanzamientos de una moneda, el de piezas defectuosas en un lote de cincuenta o el de pacientes que se curan de cien tratados con un fármaco siguen, en las condiciones adecuadas, una distribución binomial.

Depende de dos parámetros, el número de ensayos $n$ y la probabilidad de éxito $p$, y se escribe $X \sim B(n, p)$. La probabilidad de fracaso se suele llamar $q$, de modo que $p + q = 1$. Su función de probabilidad es:

La fórmula se entiende por partes. Una secuencia concreta con $k$ éxitos y $n-k$ fracasos, como éxito-éxito-fracaso, tiene probabilidad $p^k q^{n-k}$, porque los ensayos son independientes. Pero hay muchas secuencias distintas con el mismo número de éxitos, tantas como formas de elegir qué $k$ ensayos son los exitosos. Ese número es el coeficiente binomial $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}$, que coincide con las permutaciones con repetición de $k$ éxitos y $n-k$ fracasos. Por ejemplo, la probabilidad de obtener exactamente dos seises en cinco lanzamientos de un dado es $\binom{5}{2}(1/6)^2(5/6)^3 = 10 \cdot \tfrac{1}{36} \cdot \tfrac{125}{216} \approx 0{,}161$.

Su media y su varianza son:

Con cien lanzamientos de una moneda se esperan, de media, 50 caras, con una desviación típica de $\sqrt{100 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5} = 5$. La distribución es simétrica cuando $p = 0{,}5$, y asimétrica hacia la derecha o hacia la izquierda cuando $p$ es menor o mayor.

La binomial es la suma de $n$ variables de Bernoulli independientes, cada una de las cuales vale 1 si hay éxito y 0 si hay fracaso: sumar esos unos y ceros es contar los éxitos. De ahí se deducen fácilmente su media y su varianza. Cuando $n$ es grande, la binomial se parece mucho a otras distribuciones más cómodas de calcular. Si $np$ y $nq$ son ambos mayores que 5, aproximadamente, se aproxima por una distribución normal de media $np$ y varianza $npq$, con una corrección por continuidad. Si $n$ es grande y $p$ muy pequeña, de modo que los éxitos son raros, se aproxima por una distribución de Poisson de parámetro $\lambda = np$.

Las condiciones del modelo deben comprobarse antes de usarlo. Si la probabilidad de éxito cambia de un ensayo a otro, o si los ensayos no son independientes, la binomial deja de ser adecuada. Ocurre al extraer sin reemplazamiento de una población pequeña: sacar cartas de una baraja sin devolverlas sigue una distribución hipergeométrica, no binomial.

Distribución geométrica – Distribución binomial negativa (distribución de Pascal) – Experimento de Bernoulli – Prueba de Poisson