La distribución binomial es la distribución de probabilidad correspondiente al número de éxitos en un proceso de Bernoulli, donde cada experimento aleatorio tiene dos resultados posibles, éxito y fracaso, con una probabilidad éxito p. La función de probabilidad de la distribución binomial es la siguiente:
$$P[X=x]=p^x \times (1-p)^{n-x} \times \cfrac{n!}{x!(n-x)!}\ \ ; \ x=1,2,…,n$$
La anterior fórmula se explica de esta forma: los éxitos, con probabilidad p cada uno de ellos, ocurren x veces, los fracasos (n-x) veces, y todos ellos en cualquier orden, concretándose este último factor en la fórmula final de las permutaciones con repetición.
La probabilidad de fracaso, esto es (1-p), se suele expresar también con la letra 1, cumpliéndose p+q=1.
Dado que la distribución tiene dos parámetros, concretamente n y p, la distribución binomial se específica de forma resumida a través de esta notación:
$$ X \sim B(n,p)$$
Su esperanza y varianza son la siguientes:
$$E[X]=np\ \ ; \ \sigma^2=npq$$
Relación con la distribución de Bernoulli
Una distribución binomial B(n,p) es la suma de n distribuciones de Bernoulli b(p). En efecto, si se suman los valores 1, éxito, y 0, fracaso, de las distribuciones de Bernoulli, el resultado es el número de éxitos correspondiente en la distribución binomial.